Siamo abituati a pensare alla matematica e alla musica come a due mondi separati, uno fatto di freddo calcolo, l'altro di calda ispirazione, ma per gli antichi greci, e per Pitagora in particolare, la musica era letteralmente matematica udibile. Attraverso i suoi esperimenti, Pitagora scoprì infatti che i suoni armoniosi rispondono a proporzioni numeriche precise: un rapporto di 3:2 genera una quinta perfetta, uno di 4:3 genera una quarta.
Lo strumento che utilizzò per dimostrare queste proporzioni era il monocordo, una semplice cassa di risonanza con una sola corda tesa. Ma c'è un dettaglio storico affascinante. I teorici antichi chiamavano il monocordo anche "canon" (regolo, misura), la stessa parola che oggi usiamo per descrivere la forma più complessa della polifonia musicale. Pitagora, misurando la corda, stava già gettando i semi della polifonia.
Come in orizzontale, così in verticale (e in diagonale)
Se i numeri governano il suono, allora il principio ermetico "come in alto, così in basso" si applica perfettamente allo spazio musicale. Nel nostro sistema, la sequenza numerica 1-3-5 non viene trattata come un mero accordo, ma come un seme astratto. Quando suoniamo 1-3-5 uno dopo l'altro nel tempo, abbiamo una melodia (dimensione orizzontale), e Se li suoniamo tutti insieme nello stesso istante, abbiamo l'armonia (dimensione verticale). Ma se li facciamo rincorrere sfalsati nel tempo, ecco che appare la diagonale, cioè il Canone.
La polifonia non è un'invenzione artificiale sovrapposta alla musica secoli dopo, ma è una proprietà intrinseca del sistema numerico stesso. Basta sapere come attivarla.
La Tavola Pitagorica tradizionale
Tutti conosciamo la classica tavola pitagorica che si studia alle elementari, quella delle tabelline. Se la guardiamo come una matrice, si presenta così:
1
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3
4
5
2
4
6
8
10
3
6
9
12
15
4
8
12
16
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5
10
15
20
25
Questi numeri crescono rapidamente verso l'infinito. Ma la musica tonale, come sappiamo, si basa su un ciclo di sette note che si ripete costantemente (Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si) e all'ottava nota (il Do acuto), il ciclo ricomincia.
La magia della Tavola Modulare
Per adattare i numeri infiniti della matematica al pentagramma, dobbiamo usare l'aritmetica modulare in base 7. In pratica, così facendo, ogni volta che arriviamo a 7 o a un suo multiplo (14, 21...), lo riduciamo a 0. L'ottava, infatti, agisce come l'unisono, riportandoci all'identità (il Do). Applicando questa semplice riduzione, la Tavola Pitagorica infinita si cristallizza in un quadrato magico bordato di zeri:
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3
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0
2
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6
1
3
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0
3
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3
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1
0
0
0
0
0
0
0
0
Guardate quanto è magica e simmetrica. Escludendo gli zeri, si noti come la prima riga in alto, letta da sinistra a destra, sia uguale alla prima colonna letta dall'alto al basso, e le stesse regolarità si trovano nelle diagonali. Questa non è solo matematica: è un database di trasformatori musicali, le nostre "chiavi infinite", che chiameremo, d'ora in poi, matrice delle chiavi.
Il miracolo di Fra Martino
Le tabelline pitagoriche, letteralmente, suonano. Mettiamo il caso voi abbiate scritto un semplice canone all'unisono (immaginate Fra Martino Campanaro). Ora volete trasformarlo in un canone a quattro voci alla settima, sesta e quinta inferiori, un'operazione che di solito richiede ore di calcoli, tentativi ed errori (e che faceva impazzire i teorici dell'Ottocento). Con la nostra tavola modulare, il problema scompare. Per ottenere un Canone in cui le voci si imitano in quel modo, si somma alla Matrice Sonora la progressione pitagorica, che ricaviamo dalla matrice delle chiavi, cioè dalla riga dell'1 nella tabellina pitagorica modulare (0, 1, 2, 3, 4...). Aggiungete 0 ai numeri delle note di battuta 1 e 2, 1 a quelle di battuta 3 e 4, 2 a quelle della 5 e 6 e come per incanto, il vostro canone si sposterà degli intervalli richiesti, senza generare automaticamente le tipiche incongruenze che emergono nei procedimenti empirici.
partitura di Fra' Martino, canone a 4, a distanza di settima, sesta, e quinta inferiori
Verso l'automazione
Questo meccanismo è la prova provata che la complessità non risiede nel numero delle parti, ma nel metodo che si usa per generarle. Lavorare anche con 8 voci e più non è un incubo, ma diventa quasi automatico se si rispetta la geometria della saturazione e si abbandonano le vecchie regole del "legame armonico" che costringevano all'errore persino accademici del calibro di Luigi Cherubini. Il sistema della tavola pitagorica modulare e dei semi astratti ribalta la prospettiva storica. Trasforma l'arte del contrappunto in un'algebra delle matrici, spalancando le porte a quell'automazione che oggi ci permette di generare queste architetture perfette in linguaggi informatici come il C++. I numeri di Pitagora, tremila anni dopo, non hanno ancora smesso di creare universi attraverso le loro armonie.
Partimento (1740 ca.), manoscritto musicale di Carlo Cotumacci, didatta al Conservatorio di Sant'Onofrio. Biblioteca del Conservatorio di San Pietro a Majella, Napoli (Pubblico dominio).
La magia dei numeri pitagorici non è solo teoria, ma uno strumento pratico eccezionale. Vuoi approfondire il sistema dei semi astratti e scoprire come scrivere in quattro e quattr'otto un canone perfetto, proprio come avrebbe fatto Palestrina?
